Question

如圖，已知正方形OABC的邊長為4，⊙M是以OC為直徑的圓，現以O為原點，邊OA、OC所在的直線為坐標軸建立平面直角坐標系，使點B落在第四象限，一條拋物線y=ax²+bx經過O、C兩點，并將拋物線的頂點記作P．
（1）求證：4a+b=0；
（2）當點P同時在⊙M和正方形OABC的內部時，求a的取值范圍；
（3）過A點作直線AD切⊙M于點D，交BC于點E．
①求E點的坐標；
②如果拋物線與直線y=x-4只有一個公共點，請你判斷四邊形CMPE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形OABC的邊長為4，拋物線y=ax²+bx經過O、C兩點，可求出拋物線的對稱軸方程，再根據拋物線的解析式即可求出a、b的關系．
（2）由（1）中所求拋物線的解析式及a，b的關系可用a表示出P點的縱坐標，由圓的半徑為2，可知P點縱坐標的取值范圍即可求出a的取值范圍．
（3）①由切線長定理可知OA=AD，DE=CE，在Rt△ABE中由勾股定理可求出CE的長，進而求出點E的坐標．
②由直線y=x-4只有一個公共點可解直線與拋物線組成的方程組，根據△=0可求出a的值，根據a的值求出P點坐標，根據C，M，P，E四點的作標即可判斷出四邊形的形狀．

解答：解：
（1）∵對稱軸為直線x=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0；

（2）y=ax²-4ax，P（2，-4a），
∴-2＜-4a＜0，
∴0＜a＜

1

2

．

（3）①設CE=x，Rt△ABE中：4²+（4-x）²=（4+x）²，
∴x=1，
∴x=1，
∴E（4，-1）
②只有一個公共點可知，

y=ax2-4ax y=x-4

，
即ax²-（4a+1）x+4=0，△=16a²-8a+1=0，
解得a=

1

4

，
故P點坐標為（2，-1），
故PE∥MC，PE=|2-4|=2，MC=|2-4|=2，∠MCE是直角，
∴四邊形CMPE為矩形．

點評：本題考查了拋物線、圓、勾股定理的綜合應用，具有一定的區分度，但題中對二次函數、圓的知識的考查要求較低，只是將其作為一個載體，講評時應注意：（1）要知道與拋物線的對稱軸有關；（2）實際上只需說明頂點縱坐標小于0而大于-4即可；（3）的難度大，需用切長定理說明AD=AO=AB=4，CE=CD，再根據勾股定理列方程進行求解．