Question

【題目】如圖，拋物線與坐標軸分別交于A，B，C,點D在x軸上，AC=CD，過點D作DE⊥x軸交拋物線于點E，點P，Q分別是線段CO，CD上的動點，且CP=QD．記△APC的面積為S1，△PCQ的面積為S2，△QED的面積為S3，

（1）若S1+S3=4S2 ，求Q點坐標；

（2）連結AQ，求AP+AQ的最小值；

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求出A,C的坐標，作QN∥OD，根據等腰三角形的性質得出D（3，0），進而求得E（3，5），根據勾股定理求得CD＝5，設PC＝QD＝x，由△NQC∽△ODC的性質得出NQ＝，根據S1+S3=4S2，列出關于x的方程，即可求得x的值，進而求得NQ和ON，就求得Q點的坐標；

（2）連接AE，先證明△ACP≌△EQD，則AP＝EQ，所以AP＋AQ＝EQ＋AQ，利用三角形三邊的關系得到EQ＋AQ≥AE（當且僅當點A、Q、E共線時取等號），然后計算出AE即可．

（1）令=0

解得x1=-3,x2=8

∴A（-3，0），B（8，0）

令x=0，得y=4

∴C（0，4），

∵AC＝CD，CO⊥AD，

∴OD＝OA＝3，

∴D（3，0），

∴E點的橫坐標為3，

把x＝3代入得，y＝5，

∴E（3，5），

∵OD＝3，OC＝4，

∴CD＝5，

設PC＝QD＝x，

作QN∥OD，交OC于N，

∴△NQC∽△ODC，

∴，即，

∴NQ＝，

∵S1＋S3＝4S2，

∴x3＋×5[3]＝4x

解得x＝，

∴QD＝，

p>∴CQ＝5＝，

∵，

∴，

∴NQ＝，CN＝2，

∴ON＝42＝2，

∴Q（，2）；

（2）連接AE，

∵AC＝CD，CO⊥AD，

∴OC平分∠ACD，

∴∠ACO＝∠DCO，

∵ED∥OC，

∴∠DCO＝∠CDE，

∵DE＝CD＝AC＝5，CP＝QD，

∴△ACP≌△EDQ，

∴AP＝EQ，

∴AP＋AQ＝EQ＋AQ，

而EQ＋AQ≥AE（當且僅當點A、Q、E共線時取等號），

∴EQ＋AQ的最小值＝＝＝，

∴AQ＋AP的最小值為．