Question

18、關于的一元二次方程x²+2x+k+1=0的實數解是x₁和x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂＜-1且k為整數，求k的值．

Answer 1

分析：（1）方程有兩個實數根，必須滿足△=b²-4ac≥0，從而求出實數k的取值范圍；
（2）先由一元二次方程根與系數的關系，得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k+1．再代入不等式x₁+x₂-x₁x₂＜-1，即可求得k的取值范圍，然后根據k為整數，求出k的值．

解答：解：（1）∵方程有實數根，
∴△=2²-4（k+1）≥0，（2分）
解得k≤0．
故K的取值范圍是k≤0．（4分）

（2）根據一元二次方程根與系數的關系，得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k+1（5分）
x₁+x₂-x₁x₂=-2-（k+1）．
由已知，得-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2．（6分）
又由（1）k≤0，
∴-2＜k≤0．（7分）
∵k為整數，
∴k的值為-1和0．（8分）

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系．在運用一元二次方程根與系數的關系解題時，一定要注意其前提是此方程的判別式△≥0．