Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D為BC邊的中點，以D為頂點的∠EDF的兩邊分別與AB、AC交于點E、F，且∠EDF與∠A互補.

（1）如圖①，若AB=AC，且∠A=90°，證明：DE=DF；

（2）如圖②，若AB=AC，那么（1）中的結論是否成立？請說明理由.

（3）如圖③，若，探索線段DE與DF的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3），理由見解析

【解析】分析：（1）首先根據等腰三角形的性質可得∠DAB=∠DAC=∠BAC，AD⊥BC，再證明∠C=∠B=45°，∠ADE=∠FDC，AD=DC可以利用ASA定理證明△AED≌△CFD，進而得到DE=DF；

（2）DE=DF依然成立．如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，則∠EMD=∠FND=90°，由于AB=AC，點D為BC中點，根據三角形的性質三線合一得到AD平分∠BAC，于是得到DM=DN，在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，得到∠MAN+∠MDN=180°，又由于∠EDF與∠MAN互補，證得∠MDN=∠EDF，推出△DEM≌△DFN（ASA），即可得到結論；

（3）結論DE：DF=n：m．如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD同（2）可證∠1=∠2，通過△DEM∽△DFN，得到．由于點E為AC的中點，得到S△ABD=S△ADC，列等積式即可得到結論．

詳解：（1）DF=DE，

理由：如圖1，連接AD，

∵Rt△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=45°，

∴D是斜邊BC的中點，

∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°，AD⊥BC，

∴AD=DC，

∵∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠ADE=∠FDC，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

∴DE=DF；

（2）DE=DF依然成立．

如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，

則∠EMD=∠FND=90°，

∵AB=AC，點D為BC中點，

∴AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∵在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，

∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF與∠MAN互補，

∴∠MDN=∠EDF，

∴∠1=∠2，

在△DEM與△DFN中，

，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

（3）結論DE：DF=n：m．

如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，

同（2）可證∠1=∠2，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN，

∴．

∵點D為BC邊的中點，

∴S△ABD=S△ADC，

∴，

∴，

∴．