Question

【題目】已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于D，與AC相交于F，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若DF∥AB，則BD與CD有怎樣的數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) BD＝2CD證明見解析

【解析】

（1）連接OD．根據圓的半徑都相等的性質及等邊對等角的性質知：∠OAD＝∠ODA；再由切線的性質及平行線的判定與性質證明∠OAD＝∠CAD；

（2）連接OF，根據等腰三角形的性質以及圓周角定理證得∠BAC＝60°，根據平行線的性質得出BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，根據解直角三角形即可求得結論．

（1）證明：連接OD，

∴OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵BC為⊙O的切線，

∴∠ODB＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）連接OF，

∵DF∥AB，

∴∠OAD＝∠ADF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠ADF＝∠OAF，

∵∠ADF＝∠AOF，

∴∠AOF＝∠OAF，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴△AOF是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵∠ADF＝∠DAF，

∴DF＝AF，

∵DF∥AB，

∴BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，

∴＝2，

∴BD＝2CD．