Question

如圖1，已知?ABCD的周長為6，AB=1，對角線AC與BD相交于點O．
（1）求這個平行四邊形其余各邊的長；
（2）若AB⊥AC，求OC的長；
（3）將射線OA繞點O順時針旋轉，交AD于E（如圖2），當旋轉角度為多少度時，CA平分∠BCE．說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形對邊相等的性質可得出AB=CD，再由?ABCD的周長為6，可求出各邊的長度．
（2）根據（1）所求的結果，利用勾股定理可求出AC，繼而可得出OC的長度．
（3）要證CA平分∠BCE，需證∠ACB=∠ECA．要證∠ACB=∠ECA，先根據題意，證明∠ACB=∠EAC，∠EAC=∠ECA，由等量代換得證∠ACB=∠ECA．

解答：解：（1）由題意得，AB=CD=1，
又∵?ABCD的周長為6，
∴AD=BC=2．

（2）∵AB=1，BC=2，
∴AC=

BC2-AB2

=

3

，
∴OC=

3

2

．

（3）當旋轉角度為90°時，CA平分∠BCE．
證明：∵OE⊥AC，且AO=CO，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ECA，即CA平分∠BCE．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，運用平行線的性質和旋轉的性質求平行四邊形各邊的長，有一定的難度，注意熟練掌握平行四邊形的性質．