Question

【題目】對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為<x>，即當n為非負整數時，若，則<x>＝n，如<0.46>=0，<3.67>=4。給出下列關于<x>的結論：

①<1.493>=1；

②<2x>=2<x>；

③若，則實數x的取值范圍是；

④當x≥0，m為非負整數時，有；

⑤。

其中，正確的結論有 　（填寫所有正確的序號）。

Answer 1

【答案】①③④。

【解析】

①根據定義，∵，∴<1.493>=1。結論正確。

②用特例反證：∵<1.3>=1，<2×1.3>=<2.6>=3，∴<2×1.3>≠2<1.3>。

∴<2x>=2<x>不一定成立。結論錯誤。

③若，則。

∴實數x的取值范圍是。結論正確。

④設2013x＝k＋b，k為2013x的整數部分，b為其小數部分，

1）當0≤b＜時，<2013x>＝k，

m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k為m＋2013x的整數部分，b為其小數部分，< m＋2013x>＝m＋k，

∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>。

2）當b≥時，<2013x>＝k＋1，

則m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k為m＋2013x的整數部分，b為其小數部分，< m＋2013x >＝m＋k＋1，

∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>

綜上：當x≥0，m為非負整數時，< m＋2013x >＝m＋<2013x>成立。結論正確。

⑤用特例反證：：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，

∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>。∴不一定成立。結論錯誤。

綜上所述，正確的結論有①③④。