Question

【題目】（定義）在平面直角坐標系中，對于函數圖象的橫寬、縱高給出如下定義：當自變量x在范圍內時，函數值y滿足．那么我們稱b-a為這段函數圖象的橫寬，稱d-c為這段函數圖象的縱高．縱高與橫寬的比值記為k即：．

（示例）如圖1，當時；函數值y滿足，那么該段函數圖象的橫寬為2-（-1）=3，縱高為4-1=3．則．

（應用）（1）當時，函數的圖象橫寬為 ，縱高為 ；

（2）已知反比例函數，當點M(3，4)和點N在該函數圖象上，且MN段函數圖象的縱高為2時，求k的值．

（3）已知二次函數的圖象與x軸交于A點，B點．

①若m=1，是否存在這樣的拋物線段，當()時，函數值滿足若存在，請求出這段函數圖象的k值；若不存在，請說明理由．

②如圖2，若點P在直線y=x上運動，以點P為圓心，為半徑作圓，當AB段函數圖象的k=1時，拋物線頂點恰好落在上，請直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）2，4；（2），2；（3）①存在，k=3；② 或或

【解析】

（1）當時，函數的函數值y滿足

從而可以得出橫寬和縱高；

（2）由題中MN段函數圖象的縱高為2，進而進行分類討論N的y值為2以及6的情況，再根據題中對k值定義的公式進行計算即可；

（3）①先求出函數的解析式及對稱軸及最大值，根據函數值滿足確定b的取值范圍，并判斷此時函數的增減性，確定兩個端點的坐標，代入函數解析式求解即可；

②先求出A、B的坐標及頂點坐標，根據k=1求出m的值，分兩種情況討論即可．

（1）當時，函數的函數值y滿足，

從而可以得出橫寬為，縱高為

故答案為：2，4；

（2）將M（3，4）代入，得n=12，

縱高為2，

令y=2，得x=6；令y=6，x=2，

，

.

（3）①存在，

，

解析式可化為，

當x=2時，y最大值為4，

，解得，

當時，圖像在對稱軸左側，

y隨x的增大而增大，

當x=a時，y=2a；當x=b時，y=3b，將分別代入函數解析式，

解得(舍)，(舍)，，

②，，，理由是：

A（0，0），B（4，0），頂點K（2，4m），

AB段函數圖像的k=1，

，

m=1或-1，

二次函數為或，過頂點K和P點分別作x軸、y軸的垂線，交點為H.

i)若二次函數為，

如圖1，設P的坐標為（x，x），則KH=，PH=，

在中，，

即

解得，

ii)若二次函數為，

如圖2，設P的坐標為（x，x），則，

在中，

，解得x=-1，