Question

【題目】數學問題：計算等差數列5，2，﹣1，﹣4……前n項的和．

問題探究：為解決上面的問題，我們從最簡單的問題進行探究．

探究一：首先我們來認識什么是等差數列．

數學上，稱按一定順序排列的一列數為數列，其中排在第一位的數稱為第1項，用a1表示：排在第二位的數稱為第2項，用a2表示……排在第n位的數稱為第n項，用an表示．一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列叫做等差數列，這個常數叫等差數列的公差，公差通常用字母d表示．如：數列2，4，6，8，…．為等差數列，其中a1＝2，公差d＝2．

（1）已知等差數列5，2，﹣1，﹣4，…則這個數列的公差d＝　 　，第5項是　 　．

（2）如果一個數列a1，a2，a3，a4，…是等差數列，且公差為d，那么根據定義可得到：

a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，……an﹣an﹣1＝d，所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝a1+2d，a4＝a1+3d，……：由此可得an＝　 　（用a1和d的代數式表示）

（3）對于等差數列5，2，﹣1，﹣4，…，an＝　 　請判斷﹣2020是否是此等差數列的某一項，若是，請求出是第幾項：若不是，說明理由．

探究二：二百多年前，數學王子高斯用他獨特的方法快速計算出1+2+3+4+…+100的值．我們從這個算法中受到啟發，用此方法計算數列1，2，3，…，n的前n項和：由 可知

（4）請你仿照上面的探究方式，解決下面的問題：

若a1，a2，a3，…，an為等差數列的前n項，前n項和Sn＝a1+a2+a3+…+an．證明：Sn＝na1+．

（5）計算：計算等差數列5，2，﹣1，﹣4…前n項的和Sn（寫出計算過程）．

Answer 1

【答案】（1）﹣3，﹣7；（2）an＝a1+（n﹣1）d；（3）﹣3n+8；（4）詳見解析；（5）

【解析】

（1）由題意可知d＝2﹣5＝﹣3，則可得答案；

（2）根據題意可得an＝a1+（n﹣1）d；

（3）由等差數列5，2，﹣1，﹣4，…，可得公差，再結合題意即可得到答案；

（4）兩個Sn相加，再相除即可得到答案；

（5）由a1＝5，d＝2﹣5＝﹣3，結合題意可得答案.

解：（1）d＝2﹣5＝﹣3，第5項是：﹣4﹣3＝﹣7，

故答案為：﹣3，﹣7；

（2）由題意得：an＝a1+（n﹣1）d，

故答案為：an＝a1+（n﹣1）d；

（3）等差數列5，2，﹣1，﹣4，…，

則公差d＝2﹣5＝﹣3，

∴an＝5﹣3（n﹣1）＝﹣3n+8，

5﹣3（n﹣1）＝﹣2020，

n＝676，

∴﹣2020是此等差數列的某一項，是第676項；

故答案為：﹣3n+8；

（4）證明：∵Sn＝a1+a2+a3+…+an﹣1+an…①，

∴Sn＝an+an﹣1+an﹣2+…+a2+a1 …②，

則：①+②得 2Sn＝n（a1+an），

又∵an＝a1+（n﹣1）d，

∴2Sn＝n[a1+a1+（n﹣1）d]，

∴Sn＝na1+．

（5）等差數列5，2，﹣1，﹣4…，

∵a1＝5，d＝2﹣5＝﹣3，

∴由前n項和的公式Sn＝na1+得：Sn＝5n+＝．