Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，點D是AB的中點，連結CD，動點P從點A出發，沿A→C→B的路徑運動，到達點B時運動停止，速度為每秒2cm，設運動時間為t秒．
（1）求CD的長；
（2）當t為何值時，△ADP是直角三角形？
（3）直接寫出：當t為何值時，△ADP是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，AC=BC=10cm，AB=12cm，點D是AB的中點，

∴CD⊥AB，AD=DB= AB=6cm，

∴Rt△ACD中，CD= =8cm

（2）解：分兩種情況：

①如圖所示，當DP⊥AC時，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，

∴△APD∽△ADC，

∴ = ，即 = ，

解得t=1.8，

②如圖所示，當PD⊥AD時，△ADP是直角三角形，

此時點P與點C重合，AP=AC=10，

∴t= =5，

綜上所述，當t=1.8或5秒時，△ADP是直角三角形

（3）解：分三種情況：

①如圖所示，當PA=PD時，過點P作PE⊥AD于E，則AE= AD=3，

∵PE∥CD，

∴△APE∽△ACD，

∴ = ，即 = ，

解得t= ；

②如圖所示，當AP=AD時，2t=6，

∴t= =3；

③如圖所示，當AD=PD時，過點D作DF⊥AP于F，則AF= AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，

∴△AFD∽△ADC，

∴ = ，即 = ，

解得t=3.6，

綜上所述，當t=2.5或3或3.6秒時，△ADP是等腰三角形

【解析】（1）根據AC=BC=10cm，AB=12cm，點D是AB的中點，運用等腰三角形的性質，求得AD的長，再根據勾股定理求得CD即可；（2）分兩種情況進行討論：當DP⊥AC時，△ADP是直角三角形，當PD⊥AD時，△ADP是直角三角形，分別根據相似三角形的性質進行求解即可；（3）分三種情況進行討論：當PA=PD時，當AP=AD時，當AD=PD時，分別作輔助線構造相似三角形，運用相似三角形的對應邊成比例，求得t的值即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．