Question

（2010•同安區質檢）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，DC∥AB，CD=

1

2

AB=a，AD=3，E為線段BC上的動點（不與點B、點C重合），EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，設EF=x，EG=y．
（1）求y關于x的函數關系式（系數可含a），并寫出自變量x的取值范圍；
（2）無論a為何正數，在點E運動的過程中，我們都可以看出y隨著x的增大而減小．小明說此時四邊形AFEG的周長w也是隨著x的增大而減小．你認為他說的是否正確？如果正確，請說明理由；如果不正確，請舉出反例．

Answer 1

分析：（1）過點C作CH⊥AB，交AB于點H，可得△BEF和△BCH相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到x、y的函數關系式，再根CH的長度確定x的取值范圍；
（2）根據矩形的周長公式列式整理得到x、y的關系式，再根據x的系數利用一次函數的增減性舉反例說明．

解答：解：（1）如圖，過點C作CH⊥AB，交AB于點H，
∵EF⊥AB，
∴△BEF∽△BCH，
∴

EF

CH

=

BF

BH

，
∵EF⊥AB于F，EG⊥AD，
∴四邊形AFEG是矩形，
∴AF=EG=y，
∵CD=

1

2

AB=a，AD=3，
∴BF=2a-y，BH=2a-a=a，
∴

x

3

=

2a-y

a

，
∴y關于x的函數關系式是y=-

a

3

x+2a，
自變量x的取值范圍是0＜x＜3；

（2）不正確．
四邊形AFEG的周長w=2（x+y）=2（x-

a

3

x+2a）=（2-

2

3

a）x+4a，
反例1：令a=3，則w=4a=12，
此時，無論x如何變化，四邊形AFEG的周長w都不變，
所以，“四邊形AFEG的周長w也是隨著x的增大而減小”的說法是錯誤的；
反例2：令a=2，則w=（2-

2

3

a）x+4a=

2

3

x+8，
此時，四邊形AFEG的周長w隨著x的增大而增大，
所以，“四邊形AFEG的周長w也是隨著x的增大而減小”的說法是錯誤的．

點評：本題考查了相似形綜合題，主要利用了相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，一次函數的增減性，作輔助線，構造出矩形與相似三角形是解題的關鍵．