Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點．與y軸交于點C，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點D的坐標；
（2）如圖1，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿A→B勻速運動，到達點B時停止運動．以AP為邊作等邊△APQ（點Q在x軸上方），設點P在運動過程中，△APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式；
（3）如圖2，連接AC，在第二象限內存在點M，使得以M、O、A為頂點的三角形與△AOC相似．請直接寫出所有符合條件的點M坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+經過A（﹣3，0），B（1，0）兩點，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+；

則D點坐標為（﹣2，）．

（2）

解：∵點D與A橫坐標相差1，縱坐標之差為，則tan∠DAP=，

∴∠DAP=60°，

又∵△APQ為等邊三角形，

∴點Q始終在直線AD上運動，當點Q與D重合時，由等邊三角形的性質可知：

AP=AD==2．

①當0≤t≤2時，P在線段AO上，此時△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積．

AP=t，

∵∠QAP=60°，

∴點Q的縱坐標為tsin60°=t，

∴S=×t×t=t2．

②當2＜t≤3時，如圖：

此時點Q在AD的延長線上，點P在OA上，

設QP與DC交于點H，

∵DC∥AP，

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，

∴△QDH是等邊三角形，

∴S=S△QAP﹣S△QDH，

∵QA=t，

∴S△QAP=t2．

∵QD=t﹣2，

∴S△QDH=（t﹣2）2，

∴S=t2﹣（t﹣2）2=t﹣．

③當3＜t≤4時，如圖：

此時點Q在AD的延長線上，點P在線段OB上，

設QP與DC交于點E，與OC交于點F，過點Q作AP的垂涎，垂足為G，

∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，

∴OF=OPtan60°=（t﹣3），

∴S△FOP=×（t﹣3）（t﹣3）=（t﹣3）2，

∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=t﹣．

∴S=t﹣﹣（t﹣3）2=﹣t2+4t﹣．

綜上所述，S與t之間的函數關系式為S=．

（3）

解：∵OC=，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形．

①當△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時；如圖：

過點M2作AO的垂線，垂足為N，

∵∠M2AO=30°，AO=3，

∴M2O=，

又∵∠OM2N=M2AO=30°，

∴ON=OM2=，M2N=ON=，

∴M2的坐標為（﹣，）．

同理可得M1的坐標為（﹣，）．

②當△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時；如圖：

∵以M、O、A為頂點的三角形與△OAC相似，

∴=，或=，

∵OA=3，

∴AM=或AM=3，

∵AM⊥OA，且點M在第二象限，

∴點M的坐標為（﹣3，）或（﹣3，3）．

綜上所述，符合條件的點M的所有可能的坐標為（﹣3，），（﹣3，3），（﹣，），（﹣，）．

【解析】（1）直接代入求得函數解析式即可，由點D與C對稱求得點D坐標即可；
（2）由特殊角的三角函數值得出∠DAP=60°，則點Q一直在直線AD上運動，分別探討當點P在線段AO上；點Q在AD的延長線上，點P在線段OB上以及點Q在AD的延長線上，點P在線段OB上時的重疊面積，利用三角形的面積計算公式求得答案即可；
（3）由于OC=，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形，分兩種情況探討：當△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時；當△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時；得出答案即可．