Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動.設運動的時間為t（秒）.

(1)設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

(2)當t為何值時，以B、P、Q三點為頂底的三角形是等腰三角形？

（3）當線段PQ與線段AB相交于點O，且2AO=OB時，求∠BQP的正切值；

（4）是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）S= ;(2) t秒；（3） ；（4）t=9，理由見解析.

【解析】試題分析：

(1)△BPQ的高PM=CD，把底BQ用t表示即可；

(2)用t表示出△BPQ的三邊，分三種情況建立關于t的方程求解；

(3)過點Q作QE⊥AD，垂足為E，在直角△PQE中分別用t表示出兩條直角邊，由2OA=OB，結合相似三角形的性質，建立方程求得t，用正切的定義求解；

(4)假設存在時刻t，使得PQ⊥BD，由Rt△BDC∽Rt△QPE，列方程求解.

試題解析：

(1)如圖，過點P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形.

∴PM=DC=12，

∴S=；

(2)由圖可以知道：CM=PD=2t，CQ=t

以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ

在Rt△PMQ中，，

由

計算得出t=；

②若BP=BQ

在Rt△PMB中，

由BP2=BQ2得：

即

因為此方程無解。

∴PB≠BQ

③若PB=PQ

由

整理，得

計算得出

綜合上面的討論可以知道：當t三點為頂點的三角形是等腰三角形。

(3)如圖，由△OAP∽△OBQ，得

∵AP=2t-21，BQ=16-t

∴2(2t-21)=16-t

∴t=

過點Q作QE⊥AD，垂足為E，

∵PD=2t，ED=QC=t，

∴PE=t。

在Rt△PEQ中，tan∠QPE=

又∵AD∥BC

∴∠BQP=∠QPE

∴tan∠BQP=.

(4)設存在時刻t，使得PQ⊥BD

如圖，過點Q作QE⊥AD于E，垂足為E.

∵AD∥BC

∴∠BQP=∠EPQ

∵∠BFQ=∠C=90°

∴∠BQF=∠BDC，

∴∠BDC=∠EPQ

又∵∠C=∠PEQ=90°，

∴Rt△BDC∽Rt△QPE

∴。

解得t=9.

所以，當t=9秒時，PQ⊥BD.