Question

【題目】我國宋朝數學家楊在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖所示），此圖揭示了 （n為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律．

例如：，它只有一項，系數為1；，它有兩項，系數分別為1，1，系數和為2；，它有三項，系數分別為1，2，1，系數和為4；，它有四項系數分別為1，3，3，1，系數和為8；……根據以上規律，解答下列問題：

（1）展開式共有________項，系數分別為________．

（2）展開式共有________項，系數和為________．

（3）展開結果為________．

（4）利用上面的規律計算：．

Answer 1

【答案】（1）5 ， 1、4、6、4、1；（2）， ；（3）；（4）1．

【解析】

（1）展開，看共有多少項，各項系數分別為多少；

（2）猜想：展開式共有n+1項，系數和為（n為非負整數），代入 猜想均成立，則猜想成立；

（3）根據以上歸納的規律，代入 ，得出展開結果；

（4）根據以上歸納的規律對原式進行計算即可．

（1）

∴展開式共有5項，系數分別為1，4，6，4，1．

（2）猜想：展開式共有項，系數和為 （n為非負整數）

當 ,展開式有2項，系數和為2，成立；

當 ,展開式有3項，系數和為4，成立；

當 ,展開式有4項，系數和為8，成立；

當 ,展開式有5項，系數和為16，成立；

∴猜想成立，展開式共有項，系數和為 （n為非負整數）．

（3）展開結果為．

（4）原式．