Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD分別沿AE、CF折疊，若B、D兩點恰好都落在對角線的交點O上，下列說法：①四邊形AECF為菱形，②∠AEC=120°，③若AB=2，則四邊形AECF的面積為，④AB：BC=1:2，其中正確的說法有_____.（只填寫序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據折疊性質可得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，即可得出∠ACB=30°，進而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，可證明

AE//CF，AE=CE，根據矩形性質可得CE//AF，即可得四邊形AECF是平行四邊形，進而可得四邊形AECF為菱形，由∠BAE=30°，可得∠AEB=60°，即可得∠AEC=120°，根據含30°角的直角三角形的性質可求出BE的長，即可得OE的長，根據菱形的面積公式即可求出四邊形AECF的面積，根據含30°角的直角三角形的性質即可求出AB：BC的值，綜上即可得答案.

∵矩形ABCD分別沿AE、CF折疊，B、D兩點恰好都落在對角線的交點O上，

∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，

∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，

∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，

∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，

∴AE//CF，AE=CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AE=CE，

∴四邊形AECF是菱形，故①正確，

∵∠BAE=30°，∠B=90°，

∴∠AEB=60°，

∴∠AEC=120°，故②正確，

設BE=x，

∵∠BAE=30°，

∴AE=2x，

∴x2+22=(2x)2，

解得：x=，

∴OE=BE=，

∴S菱形AECF=EFAC=××4=，故③正確，

∵∠ACB=30°，

∴AC=2AB，

∴BC==AB，

∴AB：BC=1：，故④錯誤，

綜上所述：正確的結論有①②③，

故答案為：①②③