Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx與x軸交于O、A兩點，與直線y=x交于點B，點A、B的坐標分別為（3，0）、（2，2）．點P在拋物線上，過點P作y軸的平行線交射線OB于點Q，以PQ為邊向右作矩形PQMN，且PN=1，設點P的橫坐標為m（m＞0，且m≠2）．

（1）求這條拋物線所對應的函數表達式．

（2）求矩形PQMN的周長C與m之間的函數關系式．

（3）當矩形PQMN是正方形時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x．（2）①當0＜m＜2時，C=﹣2m2+4m+2．②當m＞2時，C=2m2﹣4m+2．（3）1或1+.

【解析】

試題分析: （1）把A（3，0）、B（2，2）兩點坐標代入y=ax2+bx，解方程組即可解決．

（2）分兩種情形：①0＜m＜2，②m＞2，分別求出矩形PQMN的周長C與m之間的函數關系式即可．

（3）分兩種情形列出方程即可解決．

試題解析：（1）把A（3，0）、B（2，2）兩點坐標代入y=ax2+bx，

得，解得．

故拋物線所對應的函數表達式為y=﹣x2+3x．

（2）∵點P在拋物線y=﹣x2+3x上，

∴可以設P（m，﹣m2+3m），

∵PQ∥y軸，

∴Q（m，m）．

①當0＜m＜2時，如圖1中，

PQ=﹣m2+3m﹣m=﹣m2﹣2m，

C=2（﹣m2+2m）+2=﹣2m2+4m+2．

②當m＞2時，如圖2中，

PQ=m﹣（﹣m2+3m）=m2﹣2m，

C=2（m2﹣2m）+2=2m2﹣4m+2．

（3）∵矩形PQMN是正方形，

∴PQ=PN=1，

當0＜m＜2時，如圖3中，

﹣m2+2m=1，解得m=1．

當m＞2時，如圖4中，

m2﹣2m=1，解得m=1+（或1﹣不合題意舍棄）．