Question

【題目】拋物線y＝x2+bx+c的圖象經過點A(﹣1，0)，B(0，﹣3)．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，判斷△CBD的形狀；

（3）直線BN∥x軸，交拋物線于另一點N，點P是直線BN下方的拋物線上的一個動點（點P不與點B和點N重合），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q，當四邊形BPNQ的面積最大時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）△BCD是直角三角形；（3）P(，﹣)

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）先求出點C、點D的坐標，再進行判斷即可；

（3）設P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜2），列式表示S四邊形BPNQ，然后根據二次函數的性質求解即可．

解：（1）根據題意得，

解得

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖1，當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

則C（3，0），

∴OC＝3，

∵B（0，﹣3），

∴OB＝3＝OC，

∴∠OBC＝45°，

由（1）知，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點D的坐標為（1，﹣4），

過點D作DE⊥y軸于E，

∴DE＝1，OE＝4，

∴BE＝OE﹣OB＝1＝DE，

∴∠DBE＝45°，

∴∠CBD＝180°﹣∠DBE﹣∠OBC＝90°，

∴△BCD是直角三角形；

（3）如圖，由拋物線的對稱性知，N（2，﹣3），

∴BN＝2，

∵BN∥x軸，PQ⊥x軸，

∴BN⊥PQ，

設P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜2），

∵B（0，﹣3），C（3，0），

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，

∴Q（m，m﹣3），

∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，

∴S四邊形BPNQ＝S△PBQ+S△PNQ＝PQBN＝ [﹣（m﹣）2+]×2＝﹣（m﹣）2，

當m＝時，S四邊形BPNQ最大，最大值為，此時P（，﹣）．