Question

【題目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB邊的中點，以D為直角頂點的Rt△DEF的另兩個頂點E，F分別落在邊AC，CB（或它們的延長線）上．

（1）如圖1，若Rt△DEF的兩條直角邊DE，DF與△ABC的兩條直角邊AC，BC互相垂直，則S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求當S△DEF＝S△CEF＝2時，AC邊的長；

（2）如圖2，若Rt△DEF的兩條直角邊DE，DF與△ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出S△DEF，S△CEF，S△ABC之間的數量關系；

（3）如圖3，若Rt△DEF的兩條直角邊DE，DF與△ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，且點E在AC的延長線上，點F在CB的延長線上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出S△DEF，S△CEF，S△ABC之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）成立，理由詳見解析；（3）不成立，S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．

【解析】

（1）證明DE是△ABC的中位線，得出DEBC，AC＝2CE，同理DF＝AC，證出四邊形DECF是正方形，得出CE＝DF＝CF＝DE，得出S△DEF＝S△CEF＝2＝DEDF＝DF2，求出DF＝2，即可得出AC＝2CE＝4；

（2）連接CD，證明△CDE≌△BDF，得出S△CDE＝S△BDF，即可得出結論；

（3）不成立；連接CD，同（2）得出△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五邊形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC．

解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四邊形DECF是矩形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵D為AB邊的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝BC，AC＝2CE，

同理：DF＝AC，

∵AC＝BC，

∴DE＝DF，

∴四邊形DECF是正方形，

∴CE＝DF＝CF＝DE，

∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DEDF＝DF2，

∴DF＝2，

∴CE＝2，

∴AC＝2CE＝4；

（2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下：

連接CD；如圖2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點，

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，

∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD，

∵∠EDF＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

在△CDE和△BDF中，，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF．

∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝S△ABC；

（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：

連接CD，如圖3所示：

同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，

∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，

＝S△CFE+S△DBC，

＝S△CFE+S△ABC，

∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．