Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；
①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系式．

Answer 1

（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
拋物線的對稱軸是：直線x=1．

（2）①設直線BC的函數關系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

3k+b=0 b=3

解得：

k=-1 b=3

．
所以直線BC的函數關系式為：y=-x+3．
當x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當x=1時，y=4．
∴D（1，4）
當x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
因此，當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S_△BPF+S_△CPF
即S=

1

2

PF•BM+

1

2

PF•OM=

1

2

PF•（BM+OM）=

1

2

PF•OB．
∴S=

1

2

×3（-m²+3m）=-

3

2

m²+

9

2

m（0＜m＜3）．