Question

（2013•封開縣一模）已知，如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求點C的坐標；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）設點P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點，△PAC的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求使S最大時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，得到三角形AOB與三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的長，即可確定出C坐標；
（2）由B與C坐標設出拋物線的二根式，將A坐標代入求出a的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；
（3）連接AP，CP，過P作PQ垂直于x軸，將x=m代入拋物線解析式表示出P的縱坐標，即為PQ的長，三角形APC面積=梯形APQO面積+三角形PQC面積-三角形AOC面積，列出S關于m的二次函數解析式，利用二次函數的性質求出S最大時m的值，即可確定出此時P的坐標．

解答：解：（1）∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠ACB，
又∵∠AOB=∠COA=90°，
∴△ABO∽△CAO，
∴

OA

OC

=

OB

OA

，即OA²=OB•OC，
∵A（0，2），B（-1，0），即OA=2，OB=1，
∴OC=4，
則C（4，0）；

（2）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
將A（0，2）代入得：2=-4a，即a=-

1

2

，
則過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，對稱軸為直線x=

3

2

；

（3）連接AP，CP，過P作PQ⊥x軸，交x軸于點Q，
將x=m代入拋物線解析式得：n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，
∵OA=2，OC=4，OQ=m，PQ=-

1

2

m²+

3

2

m+4，QC=4-m，
∴S=S_△APC=S_梯形APQO+S_△PQC-S_△AOC=

1

2

×m×（2-

1

2

m²+

3

2

m+4）+

1

2

×（4-m）×（-

1

2

m²+

3

2

m+4）-

1

2

×2×4=-m²+4m+4=-（m-2）²+8，
∵S關于m的二次函數解析式中二次項系數為-1＜0，即拋物線開口向下，
∴當m=2時，S最大值為8，此時P（2，3）．

點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，待定系數法確定拋物線解析式，以及二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．