Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠B的平分線，交AC于點D，E是AB中點，ED交BC的延長線于點F．求證：AB=CF．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

根據等腰三角形的性質，可得∠ABC=∠ACB=72°，根據角平分線的性質，可得∠1=∠2=36°，可得DA與DB的關系，根據線段垂直平分線的判定與性質，可得FA與FB的關系，可得∠FAB與∠ABC的關系，根據三角形外角的關系，可得∠AFC=∠ACB-∠3=36°，根據等腰三角形的判定，可得AC與CF的關系，根據等量代換，可得答案．

證明：如圖，連接AF，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2=36°，

∴∠1=∠BAD=36°，

∴DA=DB．

∵AE=BE，

∴FE⊥AB，即FE是AB的垂直平分線，

∴FA=FB，

∴∠FAB=∠ABC=72°，

∴∠3=∠FAB-∠BAC=36°，

∵∠ACB=∠3+∠AFC，

∴∠AFC=∠ACB-∠3=36°，

∴∠3=∠AFC，

∴AC=CF，

∴AB=CF．