Question

【題目】如圖,∠1=∠2,P為BN上一點,且PD⊥BC于點D,AB+BC=2BD.試說明:∠BAP+∠BCP=180°.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】作PE垂直于AB于E，根據角平分線的性質可知PD=PE，HL定理可知△PBD≌△PBE，可得BD=BE，根據題中線段和差的關系，可得△PAE≌△PCD，所以可知∠PAE=∠PCD，根據∠PAE+∠PAB=180°，即可證明題中關系.

證明：如圖，過點P作PE⊥BA于E.

∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，

∴PD=PE.

∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，

∴△BPD≌△BPE.

∴BE=BD.

∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，

∴AE=CD.

∵PD=PE，AE=CD，PD⊥BC，PE⊥BM，

∴△PCD≌△PAE，

∴∠PCB=∠PAE.

∵∠BAP+∠PAE=180°，

∴∠BAP+∠PCB=180°.