Question

【題目】如圖，正五邊形的邊長為2，連接對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M，N，給出下列結論：①∠AME=108°；②；③MN=；④．其中正確結論的序號是________．

Answer 1

【答案】①、②、③

【解析】分析：根據正五邊形的性質得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據三角形的內角和即可得到結論；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據相似三角形的性質得到和AM，AN，AD有關的比例式，等量代換得到AN2=AMAD；根據AE2=AMAD，列方程得到MN=3-；在正五邊形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+，得到BH=BC=1，根據勾股定理得到EH的值，根據三角形的面積得到結論．

詳解：∵∠BAE=∠AED=108°，

∵AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，

∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正確；

∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，

∴∠AEN=∠ANE，

∴AE=AN，

同理DE=DM，

∴AE=DM，

∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，

∴△AEM∽△ADE

∴，

∴AE2=AMAD；

∴AN2=AMAD；故②正確；

∵AE2=AMAD，

∴22=（2-MN）（4-MN），

解得：MN=3-；故③正確；

在正五邊形ABCDE中，過Ｅ作ＥH⊥BC于H

∵BE=CE=AD=1+，

∴BH=BC=1，

∴EH=，

∴S△EBC=BCEH=×2×=，故④錯誤；

故答案為：①②③．