Question

【題目】如圖，點A．B．C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）求PD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明：連接OA。

∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°。

又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°。∴∠AOP=60°。

∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°。∴∠OAP=90°。∴OA⊥AP。

∴AP是⊙O的切線。

（2）解：連接AD。

∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°。∴AD=ACtan30°=3×。

∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°。

∴∠P=∠PAD。∴PD=AD=。

【解析】（1）連接OA，由∠B=60°，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數，又由OA=OC，即可求得∠OAC與∠OCA的度數，利用三角形外角的性質，求得∠AOP的度數，又由AP=AC，利用等邊對等角，求得∠P，則可求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線。

（2）由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函數與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長。