Question

22、如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長．
小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題．
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）：先根據△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據對稱的性質得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．

解答：證明：（1）由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．（4分）
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．（5分）
∴四邊形AEGF是正方形．（6分）

（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x，（7分）
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3．
∴BG=x-2，CG=x-3．（9分）
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²）
∴（x-2）²+（x-3）²=5²（11分），
∴（x-2）²+（x-3）²=5²化簡得，x²-5x-6=0．
解得x₁=6，x₂=-1（舍），
所以AD=x=6（12分）．

點評：本題考查圖形的翻折變換和利用勾股定理，建立關于x的方程模型的解題思想．要能靈活運用．