Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AD、AB的中點，過點A作AM⊥BE，交對角線BD于M，連接ME．探究ME與DF之間的位置關系并證明．
說明：
（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；
（2）在你經歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．
注意：選取①完成證明得10分；選取②完成證明得5分．
①可畫出將△ABE沿BA方向平移BA的長度，再繞點A順時針旋轉90°后的圖形；
②∠DEM=∠AEB．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質推出AE=AF，AD=AB，∠DAB=∠DAB=90°，證△ABE≌△ADF，推出∠ADF=∠EBA即可；
（2）推出∠ADF+∠DEM=90°，根據三角形的內角和定理求出∠DOE的度數即可．
解答：（1）解：ME與DF之間的位置關系是垂直，
理由：由正方形ABCD，得∠DAB=∠DAB，AD=AB，
∵E、F分別是AD、AB的中點，
∴AE=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠ADF=∠EBA，
只要證出∠AEB=∠DEM即可．

（2）證明：DF交EM于O，
∵∠ADF=∠EBA，∠AEB=∠DEM，
∵∠DAB=90°，
∴∠EBA+∠AEB=90°，
∴∠ADF+∠DEM=90°，
∴∠DOE=180°-90°=90°，
∴EM⊥DF，
即ME與DF之間的位置關系是垂直．
點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，全等三角形的性質和判定，正方形的性質等知識點的理解和掌握，能推出∠ADF=∠EBA是解此題的關鍵．