Question

【題目】如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】證明：∵AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）解：過點O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4
∴OM=OC=2，
∴CM=2，
Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，
∴BM=OM=2，
∴BC=2+2，
∴EF=1+．

【解析】（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，從而得到DG∥EF，DG=EF，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）過點O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性質和等腰直角三角形的性質求得結果．