Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，則經過 后，點P與點Q第一次在△ABC的 邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）經過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇．

【解析】

試題分析：（1）①根據時間和速度分別求得兩個三角形中BP、CQ和BD、PC邊的長，根據SAS判定兩個三角形全等．

②根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；

（2）根據題意結合圖形分析發現：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點P多走等腰三角形的兩個邊長．

解：（1）①全等，理由如下：

∵t=1秒，

∴BP=CQ=1×1=1厘米，

∵AB=6cm，點D為AB的中點，

∴BD=3cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，

∴PC=4﹣1=3cm，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴△BPD≌△CQP；

②假設△BPD≌△CQP，

∵vP≠vQ，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，則BP=CP=2，BD=CQ=3，

∴點P，點Q運動的時間t==2秒，

∴vQ===1.5cm/s；

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，

由題意，得 1.5x=x+2×6，

解得x=24，

∴點P共運動了24s×1cm/s=24cm．

∵24=2×12，

∴點P、點Q在AC邊上相遇，

∴經過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇．