Question

聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心.
舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心.
（1）應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=，求∠APB的度數.
（2）探究：如圖3，已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長.

Answer 1

（1）90°；（2）PA=2或PA=.

試題分析：（1）連接PA、PB，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質求出PD與AB的關系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據等腰直角三角形的性質求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數；
（2）先根據勾股定理求出AC的長度，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據三角形的性質計算即可得解．
試題解析：（1）∵CD是等邊三角形ABC的高
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD
∵PD=AB
∴PD=AD=BD
又∵∠ADC=∠BDC=90°
∴∠APD=∠BPD=45°
∴∠APB=90°
（2）∵△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3
∴AC=4.
①若PA=PB，在Rt△ABC中不可能，排除；
②若PA=PC則PA=2；
③若PB=PC，連接PB，設PA=x，則PB=PC=4－x
在Rt△ABP中有,即
解得：， 即PA=
綜上所述：PA=2或PA=
考點: 1.線段垂直平分線的性質；2.等邊三角形的性質；3.等腰直角三角形．