Question

【題目】如圖13，矩形的對角線，相交于點，關于的對稱圖形為．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接，若，．

①求的值；

②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）① ②和 走完全程所需時間為

【解析】

試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形；（2）①構造直角三角形求；②先確定點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間.

試題解析：解：（1）證明： 四邊形 是矩形.

與 交于點O,且 關于 對稱

四邊形 是菱形.

（2）①連接 ,直線 分別交 于點 ,交 于點

關于 的對稱圖形為

在矩形 中， 為 的中點，且O為AC的中點

為 的中位線

同理可得： 為 的中點，

②過點P作 交 于點

由 運動到 所需的時間為3s

由①可得，

點O以 的速度從P到A所需的時間等于以 從M運動到A

即：

由O運動到P所需的時間就是OP+MA和最小.

如下圖，當P運動到 ,即 時，所用時間最短.

在 中，設

解得：

和 走完全程所需時間為