Question

【題目】已知：在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如圖1，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；
（2）如圖2，當四邊形EFGH為菱形時，設BF=x，△GFC的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過點G作GM⊥BC，垂足為M．

由矩形ABCD可知：∠A=∠B=90°，

由正方形EFGH可知：

∠HEF=90°，EH=EF，

∴∠1+∠2=90°，

又∠1+∠3=90°，

∴∠3=∠2，

∴△AEH≌△BFE．

∴BF=AE=2，

同理可證：△MGF≌△BFE，

∴△MGF≌△AEH，

∴GM=AE=2，

又 FC=BC﹣BF=12﹣2=10，

∴S△GFC= FCGM= ×10×2=10．

（2）解：如圖2，過點G作GM⊥BC，垂足為M，連接HF．

由矩形ABCD得：AD∥BC，

∴∠AHF=∠HFM，

由菱形EFGH得：EH∥FG，EH=FG，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

又∠A=∠M=90°，EH=FG，

∴△MGF≌△AEH，

∴GM=AE=2，

又 BF=x，∴FC=12﹣x，

∴S△GFC= FCGM= （12﹣x）2=12﹣x，

即：S=12﹣x，

定義域： ．

【解析】（1）只要證明△AEH≌△BFE．推出BF=AE=2，由△MGF≌△BFE，推出△MGF≌△AEH，求出FC、GM即可解決問題．（2）如圖2，過點G作GM⊥BC，垂足為M，連接HF，根據S△GFC= FCGM，計算即可．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質和矩形的性質的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．