Question

【題目】在半圓O中，AB為直徑，AC、AD為兩條弦，且∠CAD+∠CAB＝90°．

（1）如圖1，求證：弧AC等于弧CD；

（2）如圖2，點E在直徑AB上，CE交AD于點F，若AF＝CF，求證：AD＝2CE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD，若AE＝4，BD＝12，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）4．

【解析】

（1）如圖1，連接BC、CD，先證∠CBA＝∠CAD，再證∠CDA＝∠CAD，可得出AC＝CD，即可推出結論；

（2）過點C作CG⊥AD于點G，則∠CGA＝90°，證CG垂直平分AD，得出AD＝2AG，再證△ACG≌△CAE，推出AG＝CE，即可得出AD＝2CE；

（3）取BD中點H，連接OH、OC，則BH＝DH＝BD＝6，OH⊥BD，證Rt△OEC≌Rt△BHO，推出OE＝BH＝6，OC＝OA＝10，則在Rt△OEC中，求出CE的長，在Rt△AEC中，可求出AC的長．

（1）證明：連接BC、CD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°，

∵∠CAB+∠CAD＝90°，

∴∠CBA＝∠CAD，

又∵∠CDA＝∠CBA，

∴∠CDA＝∠CAD，

∴AC＝CD，

∴ ；

（2）過點C作CG⊥AD于點G，則∠CGA＝90°，

由（1）知AC＝CD，

∴CG垂直平分AD，

∴AD＝2AG，

∵AF＝CF，

∴∠CAD＝∠ACE，

∵∠CAD+∠CAB＝90°，

∴∠ACE+∠CAB＝90°，

∴∠AEC＝90°＝∠CGA，

∵AC＝CA，

∴△ACG≌△CAE（AAS），

∴AG＝CE，

∴AD＝2CE；

（3）取BD中點H，連接OH、OC，則BH＝DH＝BD＝6，OH⊥BD，

∴∠OHB＝90°＝∠CEO，

∵OA＝OB，

∴OH是△ABD的中位線，

∴AD＝2OH，

由（2）知AD＝2CE，

∴OH＝CE，

∵OC＝OB，

∴Rt△OEC≌Rt△BHO（HL），

∴OE＝BH＝6，

∴OC＝OA＝AE+OE＝4+6＝10，

∴在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2＝82，

∴在Rt△AEC中，AC＝ ＝4．