Question

已知關于x的兩個一元二次方程：
方程：x2+(2k-1)x+k2-2k+

13

2

=0    ①
方程：x2-(k+2)x+2k+

9

4

=0      ②
（1）若方程①、②都有實數根，求k的最小整數值；
（2）若方程①和②中只有一個方程有實數根；則方程①，②中沒有實數根的方程是______（填方程的序號），并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若k為正整數，解出有實數根的方程的根．

Answer 1

（1）∵△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+

13

2

）=4k-25≥0，
∴k≥

25

4

，
∵△₂=（k+2）²-4（2k+

9

4

）≥0，
∴k²-4k-5≥0，（k-5）（k+1）≥0，
∴k≥5或k≤-1，
∴k≥

25

4

，
∴k的最小整數值為7；

（2）當方程①有實數根，k≥

25

4

，則方程②有實數根；
∵方程①和②中只有一個方程有實數根，
當方程②有實數根，方程①不一定實數根；
故答案為①；

（3）∵k為正整數，
且5≤k＜

25

4

，
∴k=5或6，
當k=5時，方程②變形為x²-7x+

49

4

=0，即（x-

7

2

）²=0，
∴x₁=x₂=

7

2

；
當k=6，方程②變形為x²-8x+

57

4

=0，
△=64-4×

57

4

=7，
∴x=

8± 7

2

∴x₁=

8+ 7

2

，x₂=

8- 7

2

．