Question

【題目】先閱讀下列材料，然后解決后面的問題．

材料：一個三位數（百位數為a，十位數為b，個位數為c），若a+c=b，則稱這個三整數為“協和數”，同時規定c=（k≠0），k稱為“協和系數”，如264，因為它的百位上數字2與個位數字4之和等于十位上的數字6，所有264是“協和數”，則“協和數”k=2×4=8．

（1）對于“協和數”，求證：“協和數”能被11整除．

（2）已知有兩個十位數相同的“協和數”，（a1＞a2），且k1﹣k2=1，若y=k1+k2，用含b的式子表示y．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y==﹣1．

【解析】

（1）根據協和數的定義可得出a+c=b，由=100a+10b+c可得出=99a+11b，可證出“協和數”能被11整除；
（2）由已知可得k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=1，a1、a2、b均為整數，故a1﹣a2=1，b﹣a1﹣a2=1，可得a1+a2=b﹣1，所以a12﹣2a1a2+a22=1①，a12+2a1a2+a22=（b﹣1）2②，由①+②得：=，所以

y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1（b﹣a1）+a2（b﹣a2）=b（a1+a2）﹣（）=b（b﹣1）﹣．

（1）證明：∵為“協和數”，

∴a+c=b，

∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b=11（9a+b），

∵a是整數，b是整數，

∴9a+b是整數，

∴“協和數”能被11整除；

（2）∵k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=1，a1、a2、b均為整數，

∴a1﹣a2=1，b﹣a1﹣a2=1，

∴a1+a2=b﹣1，

∴a12﹣2a1a2+a22=1①，a12+2a1a2+a22=（b﹣1）2②，

①+②得：=，/p>

y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1（b﹣a1）+a2（b﹣a2）=+=b（a1+a2）﹣（）=b（b﹣1）﹣=﹣1．