Question

【題目】李白筆下“孤帆一片日邊來”描述了在噴薄而出的紅日映襯下，遠遠望見一葉帆船駛來的壯美河山之境.聰明的小芬同學利用幾何圖形，構造出了此意境！如圖半徑為5的⊙0在線段AB上方，且圓心O在線段AB的中垂線上，到AB的距離為，已知AB＝20.線段PQ在AB上(AP＜AQ)，PQ＝6，以PQ的中點C為頂點向上作Rt△CDE，其中∠D＝90°，CD＝3，sin∠DCE＝sin∠DCQ＝，設AP＝m，當邊DE與⊙O有交點時，則m的取值范圍是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

分兩種情況討論：當DE與圓O左側相切時；當DE在圓O右側，E在圓上時.

如圖，當DE與圓O左側相切時，過點O作OH⊥DE于H，過點H作HG⊥AB于G，過點O作OM⊥HG于M，延長ED交AB于N.

在Rt△DCN中，cos∠DCN= =，CN==5.

易證∠OHM=∠HNG，cos∠HNG=sin∠DCN=.

在Rt三角形OMH中，MH=OMcos∠OHM=OMcos∠HNG=4,

∴HG=MG-MH=-4=.

在Rt△HNG中，同理可求得GN=×=.

∴CG=GN-CN=，從而AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG=，

∴AP=AC-PG=-3=.

如圖，當DE在圓O右側，E在圓上時，過點E作EG⊥AB于G，過點O作OH⊥AB于H，過點E作EM⊥OH于M，延長ED交AB于N.

在Rt△CDE中，易求得DE=4，CE=5.

∴EN=2DE=8，CN=CE=5.

在Rt△EGN中，易求得GN=，EG=.

∴CG=GN-CN=，MH=EG=.

∴OM=OH-MH=3，從而HG=ME=4，CH=HG+CG=.

∴AP=AC-PC=AH+HG+CG-PC=.

所以m的取值范圍為.

故選A.