Question

（本題滿分6分）已知關于x的方程k²x²＋(2k－1)x＋1＝0有兩個實數根x₁、x₂
　 (1)求k的取值范圍；
(2)是否存在k的值，可以使得這兩根的倒數和等于0？如果存在，請求出k，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：
（1）根據方程由兩個不相等的實數根，則有△≥0，可列出不等式，求出k的取值范圍；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系可求出x₁+x₂=-（2k-1）/ k²，x₁x₂=1/ k²，再根據題意可得1/ x₁+1/ x₂，把式子進行變形，進行代入可求出k的值。
解答：
（1）（2k-1）²-4k²×1≥0，
解得：k≤1/4，且k²≠0，
∴k≠0，
∴k≤-1/4且k≠0；
（2）不存在，
∵方程有兩個的實數根，
∴x₁+x₂=-（2k-1）/ k²，x₁x₂=1/ k²，
∴1/ x₁+1/ x₂=（x₂+x₁）/ x₁x₂=[-（2k-1）/ k²]/（1/ k²）=-2k+1=0，
k=1/2，
∵k≤-1/4
且k≠0；
∴不存在。
點評：此題主要考查了根的判別式，以及一元二次方程根與系數的關系，關鍵是把握準計算公式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中：△=b²-4ac，x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。