Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在第一象限，點C在第四象限，點B在x軸的正半軸上．∠OAB=90°且OA=AB，OB=6，OC=5．點P是線段OB上的一個動點(點P不與點O，B重合)，過點P的直線與y軸平行，直線交邊OA或邊AB于點Q，交邊OC或邊BC于點R．設點P的橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知t=4時，直線恰好過點C.

（1）求點A和點B的坐標；

（2）當0＜t＜3時，求m關于t的函數(shù)關系式；

（3）當m=3.5時，請直接寫出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（3，3），（6，0）　　（2）（0<t<3）　（3）P（，0）或（，0）

【解析】

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；

(2)作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計算出CN得到C點坐標為(4，-3)，再利用待定系數(shù)法分別求出直線OC的解析式，直線OA的解析式，則根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到Q、R的坐標，從而得到m關于t的函數(shù)關系式；

(3)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，直線BC的解析式，然后分類討論：當0＜t＜3，3≤t＜4，當4≤t＜6時，分別列出方程，然后解方程求出t得到P點坐標．

(1)由題意△OAB是等腰直角三角形，

過點A作AM⊥OB于M，如圖：

∵OB=6，

∴AM=OM=MB=OB=3，
∴點A的坐標為(3，3)，點B的坐標為(6，0)；

(2)作CN⊥軸于N，如圖，

∵時，直線恰好過點C，
∴ON=4，
在Rt△OCN中，CN=，

∴C點坐標為(4，-3)，
設直線OC的解析式為，
把C(4，-3)代入得，解得，

∴直線OC的解析式為，

設直線OA的解析式為，
把A(3，3)代入得，解得，
∴直線OA的解析式為，
∵P(t，0)(0＜t＜3)，
∴Q(，)，R(，)，

∴QR=，

即()；

(3)設直線AB的解析式為，
把A(3，3)，B(6，0)代入得：

，解得，
∴直線AB的解析式為，
同理可得直線BC的解析式為，
當0＜t＜3時，，

若，則，

解得，

此時P點坐標為(2，0)；

當3≤t＜4時，Q(，)，R(，)，

∴，

若，則，

解得(不合題意舍去)；

當4≤t＜6時，Q(，)，R(，)，

∴，

若，則，

解得，此時P點坐標為(，0)；

綜上所述，滿足條件的P點坐標為(2，0)或(，0)．