Question

15．（1）如圖1已知△ABC，若P點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，直接寫出∠P與∠A的關系．
（2）利用第（1）題的結論，請繼續研究
如圖，四邊形ABCD中，∠F為四邊形ABCD的∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構成的銳角，若設∠A=α，∠D=β；
①如圖2，α+β＞180°，則∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；（用α．β表示），并說明理由；
②如圖3，α+β＜180°，請在圖中畫出∠F，且∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）：（用α，β表示）并說明理由；
③一定存在∠F嗎？如有，直接寫出∠F的值；如不一定，請直接指出α，β滿足什么條件時，∠F不一定存在α+β=180°．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC，再根據角平分線的性質即可得解；
（2）①根據四邊形的內角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根據角平分線的定義可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可；
③根據∠F的表示，∠F為0時不存在．

解答 解：（1）∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC，
∵P點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，
∴2∠PCE=∠ACE，2∠PBC=∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，
∴2∠P=∠A；
（2）①由四邊形內角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性質得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠FCE=∠F+∠FBC，
∵BF、CF分別是∠ABC和∠DCE的平分線，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠F+∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D+∠ABC-180°）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）+$\frac{1}{2}$∠ABC-90°，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；
②如圖3，

同①可求，∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；
③∠F不一定存在，當α+β=180°時，∠F=0，不存在．
故答案為：①$\frac{1}{2}$（α+β）-90°，②90°-$\frac{1}{2}$（α+β），③α+β=180°．

點評 本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，多邊形的內角和公式，此類題目根據同一個解答思路求解是解題的關鍵．