Question

【題目】如圖，直線AB的解析式為y=2x+4，交x軸于點A，交y軸于點B，以A為頂點的拋物線交直線AB于點D，交y軸負半軸于點C（0，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線頂點沿著直線AB平移，此時頂點記為E，與y軸的交點記為F，
①求當△BEF與△BAO相似時，E點坐標；
②記平移后拋物線與AB另一個交點為G，則S△EFG與S△ACD是否存在8倍的關系？若有請直接寫出F點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：直線AB的解析式為y=2x+4，

令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．

∴A（﹣2，0）、B（0，4）．

∵拋物線的頂點為點A（﹣2，0），

∴設拋物線的解析式為：y=a（x+2）2，

點C（0，﹣4）在拋物線上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+2）2

（2）

解：平移過程中，設點E的坐標為（m，2m+4），

則平移后拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，

∴F（0，﹣m2+2m+4）．

①∵點E為頂點，∴∠BEF≥90°，

∴若△BEF與△BAO相似，只能是點E作為直角頂點，

∴△BAO∽△BFE，

∴ ，即 ，可得：BE=2EF．

如答圖2﹣1，過點E作EH⊥y軸于點H，則點H坐標為：H（0，2m+4）．

∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），

∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．

在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BHBF，EF2=FHBF，

又∵BE=2EF，∴BH=4FH，

即：4|﹣m2|=|2m|．

若﹣4m2=2m，解得m=﹣ 或m=0（與點B重合，舍去）；

若﹣4m2=﹣2m，解得m= 或m=0（與點B重合，舍去），此時點E位于第一象限，∠BEF為銳角，故此情形不成立．

∴m=﹣ ，

∴E（﹣ ，3）．

②假設存在．

聯立拋物線：y=﹣（x+2）2與直線AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），

∴S△ACD= ×4×4=8．

∵S△EFG與S△ACD存在8倍的關系，

∴S△EFG=64或S△EFG=1．

聯立平移拋物線：y=﹣（x﹣m）2+2m+4與直線AB：y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．

∴點E與點G橫坐標相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．

當頂點E在y軸左側時，如答圖2﹣2，

S△EFG=S△BFG﹣S△BEF= BF|xG|﹣ BF|xE|= BF（|xG|﹣|xE|）=BF．

∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．

∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，

∴﹣m2+2m可取值為：64、﹣64、1、﹣1．

當取值為64時，一元二次方程﹣m2+2m=64無解，故﹣m2+2m≠64．

∴﹣m2+2m可取值為：﹣64、1、﹣1．

∵F（0，﹣m2+2m+4），

∴F坐標為：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．

同理，當頂點E在y軸右側時，點F為（0，5）；

綜上所述，S△EFG與S△ACD存在8倍的關系，點F坐標為（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．

【解析】（1）求出點A的坐標，利用頂點式求出拋物線的解析式；（2）①首先確定點E為Rt△BEF的直角頂點，相似關系為：△BAO∽△BFE；如答圖2﹣1，作輔助線，利用相似關系得到關系式：BH=4FH，利用此關系式求出點E的坐標；②首先求出△ACD的面積：S△ACD=8；若S△EFG與S△ACD存在8倍的關系，則S△EFG=64或S△EFG=1；如答圖2﹣2所示，求出S△EFG的表達式，進而求出點F的坐標．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．