Question

【題目】 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是邊AC上任意一點（點E與點A，C不重合），以CE為一直角邊作Rt△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD．

（1）若CA=CB，CE=CD

①猜想線段BE，AD之間的數量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論；

②現將圖1中的Rt△ECD繞著點C順時針旋轉銳角α，得到圖2，請判斷①中的結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD繞著點C順時針轉銳角α，如圖3，連接BD，AE，計算的值．

Answer 1

【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②見解析；（2）125．

【解析】

試題根據三角形全等的判定與性質得出BE=AD，BE⊥AD；設BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，根據∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后結合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，則AD=BE，∠CAD=∠CBF，根據∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，從而說明垂直；首先根據題意得出△ACD∽△BCE，然后說明∠AGE=∠BGD=90°，最后根據直角三角形的勾股定理將所求的線段轉化成已知的線段得出答案．

試題解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD

②BE=AD，BE⊥AD仍然成立

證明：設BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，如圖1．

∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90° ∴∠AFG+∠CAD=90°

∴∠AGF=90° ∴BE⊥AD

（2）證明：設BE與AC的交點為點F，BE的延長線與AD的交點為點G，如圖2．

∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE

∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90° ∴∠AFG+∠CAD=90°

∴∠AGF=90° ∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°

∴，．∴．

∵，，

∴