Question

【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,點P為BC邊上的一個動點(不與點B,C重合).點P關于直線AC,AB的對稱點分別為M,N,連接MN交AC于點E,交AB于點F.

(1)當點P為線段BC的中點時,求∠M的正切值.

(2)當點P在線段BC上運動時(不與B,C重合),連接AM,AN,求證:

①△AMN為等腰直角三角形;

②△AEF∽△BAM.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①見解析;②見解析.

【解析】

（1）連接NB，根據對稱的性質可證明BP=BN，進而證明∠MBN=90°，根據P為中點可證明MC=CP=PB=NB=1，求出∠M的正切值即可；（2）①如圖：連接AP，根據對稱性質可知AP=AM=AN，∠1=∠2,∠3=∠4，由∠CAB=∠2+∠3=45°證明∠MAN=90即可；②由∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1，∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1，可知∠AEF=∠BAM，再根據∠B==∠EAF=45°，即可證明△AEF∽△BAM.

(1)連接NB.

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,

∴△ACB為等腰直角三角形,

∴∠A=∠CBA=45°.

∵點P關于直線AB的對稱點為N,關于直線AC的對稱點為M,

∴AB垂直PN,BN=BP,

∴∠NBA=∠PBA=45°，

∴∠PBN=90°,

∵P為BC的中點,BC=2,∴MC=CP=PB=NB=1,

∴tan ∠M=.

(2)①連接AP,如圖.

∵點P關于直線AC,AB的對稱點分別為M,N,

∴AP=AM=AN，∠1=∠2,∠3=∠4,

∵∠CAB=∠2+∠3=45°，

∴∠MAN=90°,

∴△AMN為等腰直角三角形.

②∵△AMN為等腰直角三角形,

∴∠5=∠6=45°,

∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1,

∵∠EAF=45°，

∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1,

∴∠AEF=∠BAM,

又∵∠B=∠BAC=45°，

∴△AEF∽△BAM.