Question

【題目】探究活動一：

如圖1，某數學興趣小組在研究直線上點的坐標規律時，在直線AB上的三點A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，發現kAB＝kAC，興趣小組提出猜想：若直線y＝kx+b（k≠0）上任意兩點坐標P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），則kPQ＝是定值．通過多次驗證和查閱資料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直線y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做這條直線的斜率．

請你應用以上規律直接寫出過S（﹣2，﹣2）、T（4，2）兩點的直線ST的斜率kST＝ ．

探究活動二

數學興趣小組繼續深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結論：任意兩條不和坐標軸平行的直線互相要直時，這兩條直線的斜率之積是定值．

如圖2，直線DE與直線DF垂直于點D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．請求出直線DE與直線DF的斜率之積．

綜合應用

如圖3，⊙M為以點M為圓心，MN的長為半徑的圓，M（1，2），N（4，5），請結合探究活動二的結論，求出過點N的⊙M的切線的解析式．

Answer 1

【答案】探究活動一：；探究活動二：﹣1；綜合應用：y＝﹣x+9．

【解析】

（1）直接利用公式計算即可；

（2）運用公式分別求出kDE和kDF的值，再計算kDE×kDF＝﹣1；

（3）先求直線MN的斜率kMN，根據切線性質可知PQ⊥MN，可得直線PQ的斜率kPQ，待定系數法即可求得直線PQ解析式．

解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）

∴kST＝＝

故答案為：

（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．

∴kDE＝＝﹣2，kDF＝＝，

∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，

∴任意兩條不和坐標軸平行的直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積等于﹣1．

（3）設經過點N與⊙M的直線為PQ，解析式為y＝kPQx+b

∵M（1，2），N（4，5），

∴kMN＝＝1，

∵PQ為⊙M的切線

∴PQ⊥MN

∴kPQ×kMN＝﹣1，

∴kPQ＝﹣1，

∵直線PQ經過點N（4，5），

∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+9．