Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結論：①；②△DFP△BPH；③； ④．其中正確的是______．(寫出所有正確結論的序號)．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

依據∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，即可得到△DFP∽△BPH，，判定△DPH∽△CPD，可得，即PD2=PHCP，再根據CP=CD，即可得出PD2=PHCD；根據三角形面積計算公式，結合圖形得到△BPD的面積=△BCP的面積+△CDP面積-△BCD的面積，即可得出

解：∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，故②正確；

∴

故①不正確；

∵PC=DC，∠DCP=30°，
∴∠CDP=75°，
又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，
∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，
∴△DPH∽△CPD，
∴ ，即PD2=PHCP，
又∵CP=CD，
∴PD2=PHCD，故③正確；

如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，
設正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，則正方形ABCD的面積為16，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°

故④錯誤；

故答案為：②③