Question

在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，點D從點A開始沿邊AB以2cm/s的速度向點B移動，移動過程中始終保持DE∥BC，DF∥AC．
（1）試寫出四邊形DFCE的面積S（cm²）與時間t（s）之間的函數關系式并寫出自變量t的取值范圍．
（2）試求出當t為何值時四邊形DFCE的面積為20cm²？
（3）四邊形DFCE的面積能為40嗎？如果能，求出D到A的距離；如果不能，請說明理由．
（4）四邊形DFCE的面積S（cm²）有最大值嗎？有最小值嗎？若有，求出它的最值，并求出此時t的值．

Answer 1

∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
①S=

1

2

×12×12-

1

2

×2t×2t-

1

2

（12-2t）²=-4t²+24t（0≤t≤6）．

②當S=20時，-4t²+24t=20，
t²-6t+5=0，
解得t₁=5，t₂=1；
因此當t=1s或5s時，四邊形的面積為20cm²．

③當S=40時，-4t²+24t=40，
t²-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴四邊形的面積不能為40．

④四邊形面積有最大值和最小值，
S=-4t²+24t=-4（t-3）²+36；
當t=3時，有最大值36，當t=6時，有最小值0．
此時D離A點6cm，D為AB的中點．