Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知的半徑為5，圓心的坐標為，交軸于點，交軸于，兩點，點是上的一點（不與點、、重合），連結并延長，連結，，.
（1）求點的坐標；

（2）當點在上時.

①求證：；

②如圖2，在上取一點，使，連結.求證：；

（3）如圖3，當點在上運動的過程中，試探究的值是否發生變化？若不變，請直接寫出該定值；若變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（0，4）；（2）①詳見解析；②詳見解析；（3）不變，為.

【解析】

（1）連結，在中，為圓的半徑5，，由勾股定理得

（2）①根據圓的基本性質及圓周角定理即可證明；

②根據等腰三角形的性質得到，根據三角形的外角定理得到，由①證明得到，即可根據相似三角形的判定進行求解；

（3）分別求出點C在B點時和點C為直徑AC時，的值，即可比較求解.

（1）連結，在中，=5，，

∴

∴A（0,4）.

（2）連結，

故，則

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，

∴

∵與是弧所對的圓周角

∴=

又

∴

即

②∵

∴

∵，且由（2）得

∴

∴

在與中

∴

（3）①點C在B點時，如圖，

AC=2AO=8,BC=0,

CD=BD=

∴==；

當點C為直徑AC與圓的交點時，如圖

∴AC=2r=10

∵O,M分別是AB、AC中點，

∴BC=2OM=6，

∴C（6，-4）∵D（8,0）

∴CD=

∴==

故的值不變，為.