Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于，兩點，直線交軸與點，點是直線上的動點，過點作軸交于點，交拋物線于點.

(1)求拋物線的表達式；

(2)連接，，當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；

(3)①在軸上存在一點，連接，，當點運動到什么位置時，以為頂點的四邊形是矩形？求出此時點的坐標；

②在①的前提下，以點為圓心，長為半徑作圓，點為上一動點，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+4；(2) G（﹣2，4）；(3)①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②．

【解析】

試題分析: （1）利用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；

（3）①先判斷出要以點A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點坐標公式建立方程即可；

②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，連接CP交圓E于M，再求出點P的坐標即可得出結論．

試題解析：（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，

∴ ，

∴，

∴直線AB的解析式為y=2x+4，

設E（m，2m+4），

∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴EG=OB=4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，

∴m=﹣2，

∴G（﹣2，4）；

（3）①如圖1，

由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，

∴設E（a，2a+4），

∵直線AC：y=﹣x﹣6，

∴F（a，﹣a﹣6），

設H（0，p），

∵以點A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形，

∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=﹣x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴EF為對角線，

∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），

∴a=﹣2，P=﹣1，

∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如圖2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH=，AE=2，

設AE交⊙E于G，取EG的中點P，

∴PE=，

連接PC交⊙E于M，連接EM，

∴EM=EH=，

∴=，

∵=，

∴，

∵∠PEM=∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴，

∴PM=AM，

∴AM+CM的最小值=PC，

設點P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，

∵PE=，

∴5（p+2）2=，

∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），

∴P（﹣，﹣1），

∵C（0，﹣6），

∴PC=，

即：AM+CM=．