Question

【題目】如圖，已知拋物線的圖像經過點，，其對稱軸為直線：，過點作軸交拋物線于點，的平分線交線段于點，點是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1，動點在直線下方的拋物線上，連結，當為何值時，四邊形面積最大，并求出其最大值，

(3)如圖②，是拋物線的對稱軸上的一點，連接，在拋物線軸下方的圖像上是否存在點使滿足:①；②？若存在，求點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2），當=時，四邊形面積最大，最大值是；（3）或

【解析】

（1）首先根據對稱性得出拋物線與軸的另一個交點坐標，然后根據兩坐標設拋物線解析式，代入點A的坐標，即可得解；

（2）設P坐標，過點P作PF||軸，將四邊形OPCE的面積表示為：，計算即可；

（3）區分為P在對稱軸左，右兩側進行討論，借用，構造一線三角形相似，列出等量關系，計算即可．

（1）如圖，設拋物線與軸的另一個交點為D

由對稱性得：D(3,0)

設拋物線的解析式為：

把A(0,3)代入得：即

∴拋物線的解析式：

（2）如圖，過點P作軸，交AC于點F

在中，點A與點C關于對稱軸對稱

∵A（0,3），∴C（4,3）

∵OE平分，且

∴

∴AE=AO=3

設，則

則，，

故

∵P在BC的下方

∴

∴當時，四邊形OPCE的面積最大，最大值為：

（3）若點P在對稱軸左側，

過點P作交軸于點M，交于點N

由題得：

∴

∵，則，，

∴，解得

此時

若點P在對稱軸右側

過點P作交軸于點N，過點F作交MN于點M

由題得：

∴

∵，則，

∴，解得

此時

綜上：點P為，．