Question

（2013•威海）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

1

2

x+

3

2

與直線y=x交于點A，點B在直線y=

1

2

x+

3

2

上，∠BOA=90°．拋物線y=ax²+bx+c過點A，O，B，頂點為點E．
（1）求點A，B的坐標；
（2）求拋物線的函數表達式及頂點E的坐標；
（3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FE∥x軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=

1

2

x+

3

2

與直線y=x交于點A，列出方程組

y=x y= 1 2 x+ 3 2

，通過解該方程組即可求得點A的坐標；根據∠BOA=90°得到直線OB的解析式為y=-x，則

y=-x y= 1 2 x+ 3 2

，通過解該方程組來求點B的坐標即可；
（2）把點A、B、O的坐標分別代入已知二次函數解析式，列出關于系數a、b、c的方程組，通過解方程組即可求得該拋物線的解析式；
（3）如圖，作DN⊥x軸于點N．欲證明OD與CF平行，只需證明同位角∠CMN與∠DON相等即可．

解答：解：（1）由直線y=

1

2

x+

3

2

與直線y=x交于點A，得

y=x y= 1 2 x+ 3 2

，
解得，

x=3 y=3

，
∴點A的坐標是（3，3）．
∵∠BOA=90°，
∴OB⊥OA，
∴直線OB的解析式為y=-x．
又∵點B在直線y=

1

2

x+

3

2

上，
∴

y=-x y= 1 2 x+ 3 2

，
解得，

x=-1 y=1

，
∴點B的坐標是（-1，1）．
綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（-1，1）．

（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（-1，1）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A，O，B，
∴

9a+3b+c=3 c=0 a-b+c=1

，
解得，

a= 1 2 b=- 1 2 c=0

，
∴該拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x，或y=

1

2

（x-

1

2

）²-

1

8

．
∴頂點E的坐標是（

1

2

，-

1

8

）；

（3）OD與CF平行．理由如下：
由（2）知，拋物線的對稱軸是x=

1

2

．
∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，
∴C（

1

2

，

1

2

）．
設直線BC的表達式為y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（

1

2

，

1

2

）代入，得

-k+b=1 1 2 k+b= 1 2

，
解得，

k=- 1 3 b= 2 3

，
∴直線BC的解析式為y=-

1

3

x+

2

3

．
∵直線BC與拋物線交于點B、D，
∴-

1

3

x+

2

3

=

1

2

x²-

1

2

x，
解得，x₁=

4

3

，x₂=-1．
把x₁=

4

3

代入y=-

1

3

x+

2

3

，得y₁=

2

9

，
∴點D的坐標是（

4

3

，

2

9

）．
如圖，作DN⊥x軸于點N．
則tan∠DON=

DN

ON

=

1

6

．
∵FE∥x軸，點E的坐標為（

1

2

，-

1

8

）．
∴點F的縱坐標是-

1

8

．
把y=-

1

8

代入y=

1

2

x+

3

2

，得x=-

13

4

，
∴點F的坐標是（-

13

4

，-

1

8

），
∴EF=

1

2

+

13

4

=

15

4

．
∵CE=

1

2

+

1

8

=

5

8

，
∴tan∠CFE=

CE

EF

=

1

6

，
∴∠CFE=∠DON．
又∵FE∥x軸，
∴∠CMN=∠CFE，
∴∠CMN=∠DON，
∴OD∥CF，即OD與CF平行．

點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到的知識點有：待定系數法求二次函數解析式，一次函數與二次函數交點問題，平行線的判定以及銳角三角函數的定義等知識點．此題難度較大．