Question

（2013•威海）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點O，交AC于點D，連接BD，下列結論錯誤的是（　　）

A．∠C=2∠A

B．BD平分∠ABC

C．S_△BCD=S_△BOD

D．點D為線段AC的黃金分割點

Answer 1

分析：求出∠C的度數即可判斷A；求出∠ABC和∠ABD的度數，求出∠DBC的度數，即可判斷B；根據三角形面積即可判斷C；求出△DBC∽△CAB，得出BC²=BC•AC，求出AD=BC，即可判斷D．

解答：解：A、∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正確，
B、∵DO是AB垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=72°-36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分線，正確，
C，根據已知不能推出△BCD的面積和△BOD面積相等，錯誤，
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∴BC²=BC•AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴BC=BD，
∵AD=BD，
∴AD=BC，
∴AD²=CD•AC，
即點D是AC的黃金分割點，正確，
故選C．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，黃金分割點，線段垂直平分線性質的應用，主要考查學生的推理能力．