Question

【題目】（定義）函數圖象上的任意一點P（x，y），y﹣x稱為該點的“坐標差”，函數圖象上所有點的“坐標差”的最大值稱為該函數的“特征值”

（感悟）根據你的閱讀理解回答問題：

（1）點P （2，1）的“坐標差”為　 　；（直接寫出答案）

（2）求一次函數y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；

（應用）（3）二次函數y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x軸于點A，交y軸于點B，點A與點B的“坐標差”相等，若此二次函數的“特征值”為﹣1，當m≤x≤m+3時，此函數的最大值為﹣2m，求m．

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）4；（3）m＝或m＝

【解析】

（1）根據定義直接計算即可．

（2）由坐標差的定義得到坐標差的函數解析式．然后根據一次函數的最值出特征值即可．

（3）設B點坐標為（0，c），由點A與點B的“坐標差”相等，可得A點坐標為（﹣c，0），代入解析可得c+b＝1，再由該函數圖象的“坐標差”函數解析式，由特征值求出b，c．即可得二次函數y＝﹣x2+3x﹣2，由函數圖象對稱軸位置分三種情況討論函數的最大值即可求出m的值．

解：（1）點P （2，1）的“坐標差”＝1﹣2＝﹣1，

故答案為：﹣1．

（2）一次函數y＝2x+1的圖象上點的坐標差為：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，

函數 y＝x+1是增函數，

當﹣2≤x≤3時，x＝3，y的最大值＝4，

∴一次函數 y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．

（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y軸于點B，

∴點B（0，c）

點A與點B的“坐標差”相等，

∴點A （﹣c，0），

∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，

∵bc≠0，

∴c+b＝1，

∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”為﹣1

即函數 y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值為﹣1

∴

解得 b＝3，

∴c＝﹣2

∴y＝﹣x2+3x﹣2，

∴．

∴當m≤x≤m+3時，此函數的最大值為﹣2m，

Ⅰ．若m≤≤m+3時，則x＝時，函數的最大值為，

依題意得：﹣2m＝，

解得m＝；

Ⅱ．若m＞時，x＝m，函數取最大值為：y＝﹣m2+3m﹣2，

依題意得：：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，

解得：m＝＜（舍去），m＝，

Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣時，x＝m+3，函數取最大值為：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．

依題意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程無實數解．

綜上所述：m＝或m＝．